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本文应该是世界级顶尖科学成果,有较难的元数学内容。读者不仅要具备数理逻辑、元数学(证明论)、三次数学危机知识,并需对哥德尔不完全性定理及不可证命题有深刻的理解,而且要具备狭义相对论、量子力学、广义相对论、现代宇宙学知识,才可能读懂和理解文章的全部内容。

  第四次数学危机及其导致的物理学危机
  李子 李晓露
  摘要 本文证明了第四次数学危机。并证明了该危机导致了物理学的危机。提出了化解第四次数学危机的方案。
  关键词 第四次数学危机 希尔伯特计划 一致性
  数理逻辑 集合论 形式数论公理系统 洛伦兹坐标变换 黎曼几何 狭义相对论 量子力学 广义相对论 现代宇宙学
  1.前言
  由百度百科“第三次数学危机”可得:第三次数学危机是罗素在集合论发现了罗素悖论,证明了逻辑与集合论是矛盾的。
  罗素悖论动摇了整个数学的基础。逻辑与集合论不再是可靠的。自然数的算术也成问题,并导致所有数学理论(包括黎曼几何、欧几里得几何、代数)的无矛盾性都没有得到证明,整个数学大厦都动摇了。因此,震动了数学界,第三次数学危机由此引发。
  通过数学家们对集合论的多次修改,将集合的构造公理化,排除了这类悖论集合的存在性。
  例如,在策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)等提出的ZF公理系统(也称ZFC公理系统)中,严格规定了一个集合存在的条件(简单地说,存在一个空集【空集公理】;每个集合存在幂集【幂集公理】;每个集合里所有的集合取并也形成集合【并集公理】;每个集合的满足某条件的元素构成子集【子集公理】;一个”定义域“为A的”函数“存在“值域”【替换公理】等),这样无法定义出悖论的集合。消除了已发现的集合论中的悖论。第三次数学危机就此在一定程度上得到解决。
  2.第四次数学危机[1]
  一阶理论是一阶逻辑的一个扩充。一阶算术系统包含命题演算公理系统和一阶谓词演算系统。
  集合论是以命题演算公理系统和一阶谓词演算系统为基础的数学理论。罗素和怀特海《数学原理》中的形式数论公理系统N也包含命题演算和一阶谓词演算系统。
  李子发现和证明了命题演算公理系统存在无数个悖论。简称“李子悖论”。数学再次出现危机。
  2.1实质蕴涵存在悖论
  设计一个实质蕴涵命题a,a:(p→p)→ ¬ a
  (p→p)是永真式,其值恒真。
  根据逻辑学[2]五个真值表:如果a真,则¬a假,则实质蕴涵命题:((p→p)→ ¬ a)为假,即a假。
  如果a假,则¬ a真, 根据五个真值表可得:((p→p)→ ¬ a)为真。
  请问a的真假?
  a构成了一个悖论。
  2.2析取命题悖论
  命题b:(p∧¬ p)∨¬ b
  (p∧¬ p)是永假式,其值恒假。
  如果b真,则¬ b假,根据五个真值表可得:((p∧¬ p)∨¬ b)为假,即b假。
  如果b假,则¬ b真, 根据五个真值表可得::((p∧¬ p)∨¬ b)为真,即b真。
  请问b的真假?
  b也构成了一个悖论。
  2.3合取命题悖论
  命题c:(p→p)∧¬ c
  (p→p)是永真式,其值恒真。
  根据五个真值表:如果c真,则¬ c假,则命题:((p→p)∧¬ c)为假,即c假。
  如果c假,则¬ c真,根据五个真值表可得:((p→p)∧¬ c)为真,即c真。
  请问c的真假?
  c构成了一个悖论。
  2.4等值命题悖论
  命题d,d:(p→p)↔ ¬ d
  (p→p)是永真式,其值恒真。
  根据五个真值表:如果d真,则¬ d假,则等值命题:((p→p)↔ ¬ d)为假,即d假。
  如果d假,则¬ d真,根据五个真值表可得:((p→p)↔ ¬ d)为真,即d真。
  d构成了一个悖论。
  问题还不仅如此,悖论2.1、悖论2.2、悖论2.3、悖论2.4表明以任何一个命题代入其中,都会构成悖论。
  如将任意一个命题¬ p、p∨q、p∧q、¬ p∨q、¬p∨¬q、……代入悖论2.1、悖论2.2、悖论2.3、悖论2.4的p,就会产生无数个悖论。
  而若将任意一个永真式(如:¬ p∨p、p→¬ ¬ p……)替换悖论2.1、悖论2.3、悖论2.4中的(p→p),也会产生无数个悖论。
  若将任意一个永假式替换悖论2.2中的(p∧¬ p),同样会产生无数个悖论。
  这些悖论的大量存在,对数学理论的影响是相当大的,几乎是一个灾难。它标志着一切以命题演算公理系统为基础的数学理论,包括罗素和怀特海的形式数论公理系统N、集合论,都陷入了自相矛盾的危机之中。所有数学理论的一致性、可靠性深受其影响,并且影响到一切以数学为工具的科学理论的可靠性。
  数学面临第四次危机!

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